“Un po’ di meccanica”

“Un po’ di meccanica”

Riprendo l’esame delle formule di Giuseppe Ambrosini che avevo introdotto in un altro articolo . Usando i titoli dei paragrafi del libro originale, le formule sono come misurare il lavoro e forza e potenza in relazione ai mezzi meccanici:

W=\left [ \,mg\: ( p\, +\, a ) \:+\: K_S\: v^{2}\,\right ]\, v

F=\frac{c\,W\,R}{L\,v}\:\frac{\pi}{2}

La formula “come misurare il lavoro” calcola la potenza necessaria per mantenere una certa velocità tenendo conto di

m – il peso del ciclista e della bici
p – la pendenza della strada
a – un coefficiente dipendente dagli attriti meccanici e di rotolamento
Ks – un coefficiente dipendente dalla posizione del ciclista

La formula “forza e potenza in relazione ai mezzi meccanici” calcola la forza necessaria a sviluppare la potenza per mantenere una data velocità, tenendo conto di

c – il rapporto di trasmissione
L – la lunghezza del pedale
R – il raggio della ruota posteriore

La prima formula è scritta nella forma “potenza = forza per velocità”. Vediamo le forze che, sommate, si oppongono al moto di un ciclista (https://it.wikipedia.org/wiki/Attrito e “a proposito di watt“)

Forza dovuta alla resistenza al rotolamento (attrito volvente e altri attriti meccanici):

f_{1}\: = \: mg\: a\: \cos(\arctan(p)) \approx \:mg\: a

Forza dovuta alla pendenza della strada:

f_{2}\: = \: mg \sin(\arctan(p)) \approx \: mg\: p

Forza dovuta all’avanzamento nell’aria:

f_{3}\: = \: \frac{1}{2}\: \rho \: C_{d}\: S \: v^{2}\approx K_S\: v^{2}

Sommando le tre forze e moltiplicando per la velocità si ottiene la prima formula.

La verifica della seconda formula si fa in due parti. Per prima cosa, scriviamo la potenza come “potenza = momento per velocità angolare” e applichiamo il principio di conservazione della potenza della trasmissione :

\left. \begin{array}{rr} L \: f \:\omega_{1}\:=\:R\:\Phi\:\Omega\\ \Omega\:=\:\omega_{2} \end{array} \right\} \: \Phi\:=\frac{L\:f\:\omega_{1}}{R\:\omega_{2}}

Dato che “forza = potenza / velocità”, otteniamo

\frac{L\:f\:\omega_{1}}{R\:\omega_{2}}\:=\:\frac{W}{v} \:\Rightarrow\: f\:=\:\frac{W\:R\:\omega_{2}}{L\:v\:\omega_{1}}\:=\:\frac{c\,W\,R}{L\,v}

Ora osserviamo che f è la forza tangenziale alla corona, mentre il ciclista esercita la forza F sempre perpendicolare al terreno e quindi in pratica la forza tangenziale alla corona cambia continuamente. Il problema è quindi determinare F in modo che produca la stessa energia che produce f, in mezzo giro di pedale. Tale energia (forza per spostamento) è

E\,=\,f\,L\,\int_{0}^{\pi }d\theta\,=\, f\,L\,\pi

quindi

f\,=\,F\,sin(\theta) \,\Rightarrow \, E\,=\,F\,L\,\int_{0}^{\pi }\sin(\theta))d\theta\,=\,2\, F\,L

e per finire

f\,L\,\pi\,=\,2\, F\,L \, \Rightarrow \, F\,=\,f \frac{\pi}{2}\:=\:\frac{c\,W\,R}{L\,v}\:\frac{\pi}{2}

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